Please help me!! Eigenvalue and Block Matrix

Maier

for the english phd students:
How can i proof this:
if A, B are real symmetric matrices and A is a submatrix on the leading diagonal of B, e.g. B=[A, C ; C', D]
then
lambda_max(B)>=lambda_max(A) and
lambda_min(B)<=lambda_min(A), where lambda_max means max. eigenvalue

Please help me!!!! Thank you!


Hallo zusammen,

zur Zeit kein Chinesisch, sorry

ich habe durch Simulation die folgende Aussage gefunden und moechte sie theoretisch zeigen, oder eiinen Widerspruch finden (bin schon wochenlang stecken geblieben). Es ist sooooooo wichtig für meine Arbeit. Bitte um Eure Hilfe!!!

Wenn A und B reelle, symmetrische Matrizen sind und A eine Untermatrix auf der Hauptdiagonale von B ist (z.B.:
B=[A C; C' D]):
Der max. Eigenwert von B ist immer groesser gleich als der max. Eigenwert von A.
Der min. Eigenwert von B ist immer kleiner gleich als der min. Eigenwert von A.  

Es ist viel zu wichtig für mich. Herzlichen Dank!

orionsnow

C 矩阵有什么限制么？ 如果C 是０ 阵，你结论是显然的，嘿嘿，这当然是废话。

如果我没有积错的话，这是以前代数课的习题，你可以查查数学系的习题手册，或者google 下看。

可以试试把 A，C，D 和B 写成 X ＝ T_X％。％lambd_X ％。％T_X＇的形式。

＂％。％＂ 是矩阵相乘符号


然后应该能建立一个关系。

Maier

orionsnow 发表于 2013-6-19 17:02
C 矩阵有什么限制么？ 如果C 是０ 阵，你结论是显然的，嘿嘿，这当然是废话。

如果我没有积错的话，这 ...

多谢大侠帮忙啊，对角化也想过，貌似搞不定啊，B的特征值不包含A的特征值。在学习小组里有位大侠发我了一篇中国paper，里面引用了矩阵分析里一个推论可以解决我的问题，明天去看看是怎么证的，再次感谢哈，看来有时候大家一起讨论太重要了，以后我经常上，再也不潜水，嘿嘿

orionsnow

你矩阵不大的话，可以尝试用mathematica ８， 他可以给出你矩阵求逆的符号解。 另外你查下 舒尔（schur） 逆， 也可能是舒尔逆的一个推论，我一两年前关注过，但是我现在２全忘记了。

Maier

orionsnow 发表于 2013-6-26 16:42
你矩阵不大的话，可以尝试用mathematica ８， 他可以给出你矩阵求逆的符号解。 另外你查下 舒尔（schur）  ...

多谢哈，前一阵子太忙就没下文了，这个用minimax theorem 就可以证明了，之前舒尔补也考虑过，但是貌似不适合求特征值