[数学] 求不定积分

orionsnow · 发表于 2010-8-30 17:48

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[数学] 求不定积分
积分
本帖最后由 orionsnow 于 2010-8-30 16:47 编辑

求不定积分

A:
integral[ exp[Ev]/（1+exp[Ev]）^2 (Ev)^0.5 dEv ]

B:
F[T]=integral[ exp[Ev/T]/（1+exp[Ev/T]）^2 (Ev)^0.5 dEv ]

xiexie

我现在只能编程序求数值解，想计算出解析解来

还有想问下，网上那里有类似基米多维奇习题集的这种微积分数据库可以查询？

灰太狼2010 · 发表于 2010-8-31 11:00

你拿mathematica算一下不就得了。

orionsnow · 发表于 2010-9-1 10:08

你拿mathematica算一下不就得了。
灰太狼2010 发表于 2010-8-31 11:00

忘记说了，就是用过mathematica 了不行，现在只能求数值解。另外就是我想看运算过程。

熊猫羊 · 发表于 2010-9-1 18:05

你可积性判据学的真烂
exp(u)*u^(1/2)
代换一下，再部分积分，得到一个高斯函数，有这一点，就知道积分结果不是初等函数，没有解析结果

methematica的结果是用级数法得到的再求和

熊猫羊 · 发表于 2010-9-1 18:07

详细结果看特函或者复变吧

开心小子 · 发表于 2010-9-1 19:51

忘记说了，就是用过mathematica 了不行，现在只能求数值解。另外就是我想看运算过程。
orionsnow 发表于 2010-9-1 10:08

根据微积分的定义，数值解肯定能求得，不过要用编程的方法
dx作为一个变量，把整块面积分割成有限数量的微元面积，然后累加起来，分割数量越大，数值越精确
建议你用mathcad，编程及其简单

熊猫羊 · 发表于 2010-9-1 20:14

根据微积分的定义，数值解肯定能求得，不过要用编程的方法
dx作为一个变量，把整块面积分割成有限数量 ...
开心小子发表于 2010-9-1 19:51

笑翻了，你搞清什么是定积分，什么是不定积分了吗？还曲线下面积？？？

开心小子 · 发表于 2010-9-1 23:13

本帖最后由开心小子于 2010-9-2 00:21 编辑

回复 7# 熊猫羊

。。。现在只能求数值解。。。

orionsnow 发表于 2010-9-1 10:08

楼主说，他想求数值解，不定积分有数值解吗？

他既然想要数值解，我的方法肯定能帮到他，而且可以在任意给定的区间之内，甚至是正负无穷区间

开心小子 · 发表于 2010-9-1 23:48

回复 7# 熊猫羊

楼主想要的原函数虽然未知，但是它肯定是条Kurve

如果能尽可能多的找到Kurve上面的点，就可以用Kurvenanpassung来找到此原函数

当然啦，要想得到接近于实际函数的原函数，点的数量必须要足够多，而且dx的大小以及区间的分割宽度很重要

orionsnow · 发表于 2010-9-2 00:18

本帖最后由 orionsnow 于 2010-9-2 00:27 编辑

回复熊猫羊

楼主说，他想求数值解，不定积分有数值解吗？

他既然想要数值解，我的方法肯定能帮 ...
开心小子发表于 2010-9-1 23:13

还是你理解我的意思，这个公式本来是个定积分。

我想先求不定积分，然后带入，就是我上边写的那个式子。所以第一个式子我没有写积分区间。

用mathematics 求定积分数值解很容易的，那个我已经做完了。图像也画了。

另外，这个积分是凝态物理里头的东西，好象是叫费曼-迪拉克分布， x 的范围是0 到无穷.

重点是要求不定积分。因为原始方程比这个还复杂，我需要现在的推导过程来推后边的。

F[y_]：=int 【exp[Ev]/（1+exp[（Ev- y） / （kb×T）]）^2 (Ev)^n dEv】

我现在的初步思路是做拉普拉斯变换，这样 exp[Ev]/（1+exp[Ev]）^2 (Ev)^n dEv

就可以看成是概率函数的n 阶矩。

当n = 整数的解就都求出来了，但是n 不等于整数还在推。

我把数值解已经求出来了，和直接用 Nintegral【】求出来的结果一样的。

我回头把我mathematics 的code 放上来，可以继续讨论。

熊猫羊 · 发表于 2010-9-2 00:21

第一，看懂楼主的原话
“我现在只能编程序求数值解，想计算出解析解来”
解析解，我告诉他解析解不存在，只能以erf标出

第二，楼主问不定积分，没有指定积分限，你给硬加一个-2到10
就算这段是对的，解析解呢？曲线是解析解码？和要求吗？anpassung结果呢？没给，给了又咋样？能比mathematica做的好，人不做过了吗，这段收敛，其他的区间呢？
软件解这个积分的思路是展开exp，和x相乘逐个符号积分，再判断收敛与否，根本不可能用你说的这种牛顿法，或者simpson法，不要指望软件能在无人干预的情况下anpassen曲线

不要过分依赖ml，mathematica，maple，matcad，毕竟是软件，这次幸运，积分在R上收敛，很多时候不收敛的积分mathematica也能给结果，根本就是错的，不要对软件希望抬高
还有就是搞清基本概念
最重要的是，怪叔叔的问题就有问题，你答他作甚啊？

orionsnow · 发表于 2010-9-2 00:30

本帖最后由 orionsnow 于 2010-9-2 00:32 编辑

回复熊猫羊

楼主想要的原函数虽然未知，但是它肯定是条Kurve

如果能尽可能多的找到Kurve上面的点， ...
开心小子发表于 2010-9-1 23:48

恩，谢谢你的热心帮助。

如果要解析解的话 mathematics 给了一个带着 f（z） = sum_（k=1）^inf (z^k/k!) 的逼近解，具体写法我要明天回去看看程序。

我对这个结果不是很满意。因为后边主函数里头的y 会带一个很小的值（电子电量），用数值解的时候要把迭代设置很大才能避免误差。所以我想仔细看看解析解是什么样子的。

开心小子 · 发表于 2010-9-2 00:30

还是你理解我的意思，这个公式本来是个定积分。

我想先求不定积分，然后带入，就是我上边写的那个 ...
orionsnow 发表于 2010-9-2 00:18

想当初我也碰到过你这样的问题
我请教了数学系的教授
教授说
根据原函数的存在定理
如果函数在区间上连续
那么在这个区间上
它的原函数一定存在
可惜的是
我当时的函数及其复杂
教授说了一句
目前人类无法解析出来

开心小子 · 发表于 2010-9-2 00:34

第一，看懂楼主的原话
“我现在只能编程序求数值解，想计算出解析解来”
解析解，我告诉他解析解不存在，只能以erf标出
熊猫羊发表于 2010-9-2 00:21

软件无法解出来，不代表真实的解就不存在
我可以告诉你，这个原函数是肯定存在的，具体的函数我们解不出来而已

熊猫羊 · 发表于 2010-9-2 00:36

原函数存在和解析可表是两码事情，楼主问的后者，不是前者，搞懂题意

开心小子 · 发表于 2010-9-2 00:37

第二，楼主问不定积分，没有指定积分限，你给硬加一个-2到10

熊猫羊发表于 2010-9-2 00:21

-2到10，那仅仅是打印时候的区间限制，为了方便显示图像
你到底会不会用mathematica？

熊猫羊 · 发表于 2010-9-2 00:38

软件只能做分布distribution，人脑才能做函数

orionsnow · 发表于 2010-9-2 00:39

本帖最后由 orionsnow 于 2010-9-2 00:40 编辑

软件无法解出来，不代表真实的解就不存在
我可以告诉你，这个原函数是肯定存在的，具体的函数我们解不 ...
开心小子发表于 2010-9-2 00:34

说这个让我想起那个处处连续处处不可导函数来了。跑题了。

高斯函数我记得我上学的时候，老师说的准确的说法是，解析解的初等函数表达式不存在，还专门用一堂课来证明的，如果我没有记错的话。毕竟是本科第一年学的东西，很多年以前的事情了，都快忘光了，回去要看书确认一下。

这么说来我更同意你的观点，看来我需要找更复杂的函数表达式来表示解析解了。

开心小子 · 发表于 2010-9-2 00:42

就算这段是对的，解析解呢？曲线是解析解码？和要求吗？anpassung结果呢？没给，给了又咋样？能比mathematica做的好，人不做过了吗，这段收敛，其他的区间呢？

熊猫羊发表于 2010-9-2 00:21

anpassung需要很多时间来调试的
我前面说了要改变那几个变量的大小
然后再看结果是否相差很大

我前面给的仅仅是函数图像
这个函数图像表明
原函数是肯定存在的
从图中也能看出
该函数的定义域就是从0到正无穷
你说的什么收敛不收敛
一点意义都没有

熊猫羊 · 发表于 2010-9-2 00:43

还是你理解我的意思，这个公式本来是个定积分。

我想先求不定积分，然后带入，就是我上边写的那个 ...
orionsnow 发表于 2010-9-2 00:18

你肯定不是学数学和物理出身的，对特殊函数敏感性太差，复变和积分变换学得很烂，数学软件只能参考，不懂过程，出错你都不知道

熊猫羊 · 发表于 2010-9-2 00:45

你说的什么收敛不收敛
一点意义都没有
开心小子发表于 2010-9-2 00:42

我不懂mathematica，但我知道它什么时候会出错

开心小子 · 发表于 2010-9-2 00:48

原函数存在和解析可表是两码事情，楼主问的后者，不是前者，搞懂题意
熊猫羊发表于 2010-9-2 00:36

看来你还是没理解我的意思
楼主最后要求解的那个函数非常复杂
能找到解析解的可能性及其低
最后只能用我说的描点法

熊猫羊 · 发表于 2010-9-2 00:51

能找到解析解的可能性及其低
开心小子发表于 2010-9-2 00:48

我4楼的话白说了，你俩自己玩吧，我溜了

开心小子 · 发表于 2010-9-2 00:51

我不懂mathematica，但我知道它什么时候会出错
熊猫羊发表于 2010-9-2 00:45

辩证的矛盾！

orionsnow · 发表于 2010-9-2 00:52

本帖最后由 orionsnow 于 2010-9-2 00:54 编辑

anpassung需要很多时间来调试的
我前面说了要改变那几个变量的大小
然后再看结果是否相差很大

我前 ...
开心小子发表于 2010-9-2 00:42

原函数肯定存在的，收敛性不用担心。

费米-迪拉克分布是一个概率函数，概率函数的高阶矩总是存在的。

0.5 虽然有点不保险，但是我们可以姑且认为 n=0，n=1 都收敛，然后用下类似夹逼定理这样的方法就可以保证他收敛了。

下边是 wiki 关于解析解的定义，他这里有个很好的提示。

“但如果我们把特殊函数，比如误差函数或gamma函数也看作常见函数，则累积分布函数可以写成解析形式。”

我想求

F[y_]：=integral_0^inf 【exp[Ev]/（1+exp[（Ev- y） / （kb×T）]）^2 (Ev)^n dEv】

的解析解（含误差函数和gamma 函数也可以，但是最好不要含无穷级数）， kb 是常数， T 是温度
要求最后的解在kb 很小（10^-19）的时候可以稳定，这也是我要寻找解析解的原因。数值解法太容易积累误差了。

解析解
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在数学上，如果一个方程或者方程组存在至少一个由有限次常见运算给出的解，则称该方程存在解析解。二次方程的根就是一个解析解的典型例子。在低年级数学的教学当中，解析解也被称为公式解。

当解析解不存在时，比如五次以及更高次的代数方程，则该方程只能用数值分析的方法求解近似值。

解析解的准确含义依赖于何种运算称为常见运算或常见函数。传统上，只有初等函数被看作常见函数，无穷级数、序列的极限、连分数等都不被看作常见函数。按这种定义，许多累积分布函数无法写成解析形式。但如果我们把特殊函数，比如误差函数或gamma函数也看作常见函数，则累积分布函数可以写成解析形式。

在计算机应用中，这些特殊函数因为大多有现成的数值法实现，它们通常被看作常见运算或常见函数。实际上，在计算机的计算过程中，多数基本函数都是用数值法计算的，所以所谓的基本函数和特殊函数对计算机而言并无区别。

orionsnow · 发表于 2010-9-2 00:58

本帖最后由 orionsnow 于 2010-9-2 01:14 编辑

回复熊猫羊

楼主说，他想求数值解，不定积分有数值解吗？

他既然想要数值解，我的方法肯定能帮 ...
开心小子发表于 2010-9-1 23:13

我看你画的这个图这么像卡方分布，昨天我拿出来一个gamma 函数，就有人说和结果很像。明天我可以顺着这个思路走走看。

我差点忘记了，你说的函数逼近的方法在85 年 JApplPhy 上已经有人做过了，存在的问题就是我上边提到的问题，误差对于小扰动不稳定。

Accurate, short series approximations to fermo-Dirac integra~s of order
1/2,1/2, 1, 3/2, 2, 5/2,3,aod 7/2

P. Van Halen and D. L. Pulfrey

Electrical Engineering Department, University of British Columbia, Vancouver, British Columbia, V6T 1 W5
Canada
(Received 26 October 1984; accepted for publication 24 January 1985)

88年还有一个

A calculational procedure of the Fermi-Dirac integral with an arbitrary real
index by means of a. numerical integration technique
Isao J. Ohsugi
Physical Laboratory, Salesian Polytechnic, Suginami-ku. Tokyo 167, Japan
Tsutomu Kojima
Electrical Engineering Department, Salesian Polytechnic, Suginami-ku, Tokyo 167, Japan
Isao Nishida
National Research Institute/or Metals, Meguro-ku, Tokyo 153, Japan
(Received 9 June 1987; accepted for publication 19January 1988)

呵呵，思路挺好的，你要是早生30年估计这论文就是你发的了。如果方便的话可以留个联系方式，以后有关于mathematics 的问题还要请教你。

该用户名不存在 · 发表于 2010-9-2 21:22

[数学] 求不定积分
积分
本帖最后由 orionsnow 于 2010-8-30 16:47 编辑

求不定积分

A:
integral[ ...
orionsnow 发表于 2010-8-30 17:48

不定积分解析解不存在，解不出来的。

该用户名不存在 · 发表于 2010-9-2 21:22

我4楼的话白说了，你俩自己玩吧，我溜了
熊猫羊发表于 2010-9-2 00:51

我来顶你！

熊猫羊 · 发表于 2010-9-2 22:06

我来顶你！
该用户名不存在发表于 2010-9-2 21:22

学啥的，报上名来？

该用户名不存在 · 发表于 2010-9-2 22:10

学啥的，报上名来？
熊猫羊发表于 2010-9-2 22:06

已经毕业了的也要报上名来？？？

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